Question

5．已知函数f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），x∈R
（1）函数的最小正周期；
（2）函数单调增区间；
（3）函数的最小值及取得最小值时x的值；
（4）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函数的值域．

Answer 1

分析 根据三角函数的图象和性质即可求出相应的问题的答案．

解答 解：（1）函数的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
（2）-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴函数单调增区间为[-$\frac{π}{2}$+4kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，
（3）当$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时，即x=-$\frac{π}{2}$+4kπ，k∈Z时，函数有最小值，最小值为-3，
（4）由（2）知，函数单调增区间为[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴函数f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]单调递增，
∴f（-$\frac{π}{2}$）=3sin（$\frac{1}{2}$×$（-\frac{π}{2}）$-$\frac{π}{4}$）=-3，f（$\frac{π}{2}$）=3sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$）=0，
∴函数的值域为[-3，0]．

点评 本题考查了三角函数的周期，最值，单调区间，属于基础题．