Question

【题目】设分别是椭圆的左、右焦点，已知椭圆的长轴为是椭圆上一动点，的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）椭圆的长轴为可以直接求出，设出点的坐标，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合的最大值为进行求解即可；

（2）设出直线的点斜式方程，将直线方程与椭圆方程联立，设出两点坐标，再设出的坐标，利用平面向量加法、平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系求出点坐标，把点的坐标代入椭圆方程中，根据的取值范围，可以求出直线的斜率的取值范围，结合两点间距离公式求出的表达式，根据直线的斜率的取值范围，结合换元法、配方法进行求解即可.

（1）因为椭圆的长轴为所以，设的坐标为：，所以有

，两焦点坐标为：，因此

，所以

，

显然当时，有最大值，最大值为，因此椭圆方程为：；

（2）设直线的方程为：，因为，所以，将该直线方程与椭圆方程联立得：，设，所以有，因此，设，

因为，所以有，

，把点坐标代入椭圆方程中，得

，化简得：，而，所以有

.

即，

显然有，所以.

令，

因此，因为，所以，所以当，的最大值为；当时，，所以的取值范围为.