Question

1．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a•{e^x}，x≤0}\\{-lnx，x＞0}\end{array}}\right.$，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 分类讨论f（x）的表达式，从而确定f（x）的图象，从而解得．

解答 解：当a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x≤0}\\{-lnx，x＞0}\end{array}\right.$，
此时对任意x≤0，都是方程f（f（x））=0的实数根，
故不成立；
当a＜0时，函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a•{e^x}，x≤0}\\{-lnx，x＞0}\end{array}}\right.$的图象如下，
，
由f（f（x））=0得，f（x）=1；
f（x）=1有且只有一个解，
故成立；
当a＞0时，函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a•{e^x}，x≤0}\\{-lnx，x＞0}\end{array}}\right.$的图象如下，

根据函数的图象可判断f（x）的零点为：1．
由f（f（x））=0得，f（x）=1；
若使f（x）=1有且只有一个实数解，
根据图象可判断：0＜a＜1，
故答案为：（-∞，0）∪（0，1）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用．