题目内容
已知函数
.（
）
（1）当
时，求
在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线
下方，求
的取值范围．
（Ⅰ）当
时，
，
；
对于
[1，e]，有
，∴
在区间[1，e]上为增函数，
∴
，
.
（Ⅱ）令
，则
的定义域为（0，+∞）.
在区间（1，+∞）上函数
的图象恒在直线
下方等价于
在区间（1，+∞）上恒成立.
∵
① 若
，令
，得极值点
，
，
当
，即
时，在（
，+∞)上有
，
此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(
，+∞)，不合题意；
当
，即
时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有
∈(
，+∞)，也不合题意；
② 若
，则有
，此时在区间(1，+∞)上恒有
，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足
，
由此求得
的范围是[
，
].
综合①②可知，当∈[，]时，
函数的图象恒在直线下方.
解析:
⑴当
时，
，求其在给定区间上的最值，可以借助导数解决；⑵函数
的图象在直线
的下方，说明
在给定区间
上恒成立，恒成立问题可以转化为函数的最值来解决，再次利用导数计算求值.
练习册系列答案
相关题目