Question

已知函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围；
（2）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）利用函数的定义域及平方法求值域；
（2）利用换元法将函数变为关于t的函数，再用分类讨论思想，求一元二次函数在定区间上的最大值即可．

解答：解：（1）t=

1+x

+

1-x

 的定义域是[-1，1]，
t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，∵t＞0，
∴t∈[

2

，2]
∴t的取值范围是[

2

，2]．
（2）由（1）知

1-x2

=

1

2

t²-1，
∴f（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]
①当a＞0时，f（t）在[

2

，2]上递增，
∴g（a）=f（2）=2a+2-a=a+2；
②当a=0时，f（t）=t，在[

2

，2]上递增，
∴g（a）=2；
③当a＜0时，分三种情况讨论，
A：-

1

2

＜a＜0，-

1

a

＞2，∴g（a）=f（2）=a+2；
B：a＜-

2

2

，-

1

a

＜

2

，∴g（a）=f（

2

）=

2

；
C：-

2

2

≤a≤-

1

2

，-

1

a

∈[

2，

2]，∴g（a）=-a-

1

2a

综上g（a）=

a+2.    (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a . (- 2 2 ＜a＜- 1 2 ) 2 .         (a≤- 2 2 )

点评：本题考查函数的值域与最值．含有参数的函数在定区间上的最值问题常用分类讨论思想求解．