Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）当函数f（x）为奇函数时，求a的值；
（3）当函数f（x）为奇函数时，求函数f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据增函数的定义证明即可；
（2）利用奇函数的性质f（0）=0，求得a，再验证函数在定义域上是奇函数．
（3）利用（1）得出是增函数的结论，求解即可．

解答：解：（1）证明：任取x₁＜x₂∈R则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵x₁＜x₂ 2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0故f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函数f（x）在R上为增函数．
（2）因函数f（x）在x=0 有意义，又函数f（x）为奇函数，则f（0）=0
即f(0)=a-

1

2

=0，得a=

1

2

，
当a=

1

2

时，f（-x）=-f（x），函数是奇函数．
∴a的值为

1

2

（3）根据①函数是增函数，x∈[-1，2]时，f（-1）≤f（x）≤f（2），
∵f（-1）=-

1

6

，f（2）=

3

10

∴函数的值域是[-

1

6

，

3

10

]

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性及函数的值域．