题目内容

如图所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分别是A'B'、A'A的中点．
（1）求证：A'B⊥C'M；
（2）求异面直线BA'与CB'所成交的大小；
（3）（理）求BN与平面CNB'所称的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．

解：（1）以C为坐标原点，CB，CA，CC′分别为x轴，y轴，z轴，则B（1，0，0）， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴A'B⊥C'M；
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴异面直线BA'与CB'所成角为 $\text{[math]}$ ；
（3）设BN与平面CNB'所成的角为α，平面CNB'的一个法向量为（x，y，z）
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴平面CNB'的一个法向量为（2，1，-1）
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴BN与平面CNB'所成的角为 $\text{[math]}$ ；
（4）设平面NBC的一个法向量为（a，b，c ），二面角A-BN-C的大小为β
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴平面NBC的一个法向量为（0，1，-1）
∵平面ABN的一个法向量为（ $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ ，∴β=60°
∴二面角A-BN-C的大小为60°
分析：以C为坐标原点，CB，CA，CC′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，从而可证线线垂直，可求线线角，线面角，二面角，注意法向量的求解方法．
点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查线线垂直，线面角、二面角等，关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解．