Question

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g(x)=

2x

3

．
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（2）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）配方确定函数的对称轴，结合函数的定义域，进行分类讨论，即可求出函数y=f（x）的最小值m（a），利用函数的单调性，可求g（x）的值域；
（2）对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，即使得f（x）_min＞g（x）_max，故可建立不等式组，从而可求a的取值范围．

解答：解：（1）配方得f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
当1≤a＜2时，m（a）=f（a）=4-a²，
当a≥2时，m（a）=f（2）=8-4a
∴m(a)=

4-a2，1≤a＜2 8-4a，a≥2

g（x）在区间[0，2]上单调递增函数，
∴g(x)∈[0，

4

3

]．
（2）由题设，对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，即使得f（x）_min＞g（x）_max，
故

1≤a＜2 4-a2＞ 4 3

或

a≥2 8-4a＞ 4 3

解得1≤a＜

2 6

3

为所求的范围．

点评：本题考查二次函数的最值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，转化为f（x）_min＞g（x）_max．