题目内容
【题目】随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行也越来越便利.根据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足:,平均每趟地铁的载客人数
(单位:人)与发车时间间隔
近似地满足下列函数关系:
,其中
.
(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1000人,试求发车时间间隔t的值;
(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为(单位:元),问当发车时间间隔t为多少分钟时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大? 并求出最大净收益.
【答案】(1);(2)当发车时间间隔为7min时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大,最大净收益为240元.
【解析】
(1)由题意可知,
,求得
值;
(2)由(1)的分段函数可得,由分段函数的单调性求得函数的最大值,以及
的值.
(1)由已知得,当时,
,不合题意舍去
当时,
,
或
或
又
(2)由题意得
当时,
(元),
当且仅当取等;
当时,
(元)
当
,
.
答: (1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1000人,发车时间间隔为4min.
(2)当发车时间间隔为7min时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大,最大净收益为240元.
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