题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,设
的两个极值点为
,
,证明:
.
【答案】(1)详见解析(2)证明见解析。
【解析】
(1)利用导函数分子的判别式分情况讨论,即可,注意参数时,函数图像开口也会发生相应的变化。(2)利用对数平均不等式,证明即可。
解:(1),
,
对于一元二次方程,
,
①当时,即
时,
无解或一个解,
有时,
,此时
在
上单调递增,
②当时,即
时,
有两个解,
其解为, 当
时,
,故在
及
时,
;且
时,
,即
在
及
上单调递增,在
上单调递减,当
时,一个实根小于0,一个实根大于0,所以在
时,
,在
,
,即
在
上单调递增,在
上单调递减。
综上所述:即时,
在
上单调递增;
当时,即
在
及
上单调递增,在
上单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减。
(2)当时,
,
,又因为
的两个极值点为
,
,则
,
是方程
的两实数根,
设
。
又因为,故要证
,
只需证,
只需证,
只需证,
下面证明不等式,不妨设
,要证
,即证
,即证
,令
,设
,则
,所以,函数
在
上递减,而
,因此当
时,
恒成立,即
成立,即
成立,
所以,得证。
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