题目内容
【题目】2006 年 8 月中旬 , 湖南省资兴市遇到了百年不遇的洪水灾害 . 在资兴市的东江湖岸边的点 O 处(可视湖岸为直线) 停放着一只救人的小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 15°，, 速度为2.5 km/ h ，同时，岸上有一人从同一地点开始追赶小船 .已知他在岸上追的速度为4 km/ h ，在水中游的速度为 2 km/h .问此人能否追上小船? 若小船速度改变 ，则小船能被此人追上的最大速度是多少 ?
【答案】答案见解析.
【解析】
如图所示，设此人在岸上跑到点
后下水, 在点
处追上小船.设船速为
,人追上船的时间为
, 人在岸上追船的时间为的
倍(
), 则人在水中游的时间为
.
故
，
.
由余弦定理得
.
整理得
.
设
.
易知
.
（1）若
，则必存在
，使得
.
此时，
，解得
.
（2）若
，要使
在
内有解，
则
解得
故
.
综上，当
时，人可以追上船.
因此，船速为25km/h时，能追上小船，小船能被人追上的最大速度是
km/h.
【题目】某校有教师400人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下：
学历 | 35岁以下 | 35-55岁 | 55岁及以上 |
本科 |
| 60 | 40 |
硕士 | 80 | 40 |
|
(1)若随机抽取一人，年龄是35岁以下的概率为
，求
；
(2)在35-55岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名教师中任选2人，求两人中至多有1人的学历为本科的概率.
【题目】孝感市旅游局为了了解双峰山景点在大众中的熟知度，从年龄在15～65岁的人群中随机抽取n人进行问卷调查，把这n人按年龄分成5组：第一组[15,25)，第二组[25,35)，第三组[35,45)，第四组[45,55)，第五组[55,65]，得到的样本的频率分布直方图如右：
调查问题是“双峰山国家森林公园是几A级旅游景点？”每组中回答正确的人数及回答正确的人数占本组的频率的统计结果如下表.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | 5 | 0.5 |
第2组 | [25,35) | 18 | x |
第3组 | [35,45) | y | 0.9 |
第4组 | [45,55) | 9 | a |
第5组 | [55,65] | 7 | b |
(1)分别求出n，x，y的值；
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的两人来自不同年龄组的概率．
