题目内容
9．已知函数f（x）=$\frac{1-g（x）}{2}$•（x2+2x+a）+$\frac{1+g（x）}{2}$•ln|x|，其中a∈R，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；
（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求实数a的取值范围．
分析 （1）讨论x＞0，x＜0，由g（x）即可得到f（x）；
（2）求出函数的导数，求得切点A，B处的切线的斜率，再由两直线垂直的条件，化简整理，由二次函数的值域即可得到最小值；
（3）求出f（x）的图象在点A，B处的切线方程，由两切线重合的条件，再由导数求得单调区间，运用单调性即可求得a的范围．
解答 解：（1）由题意有，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+a，x＜0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$，
（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′（x1），
点B处的切线斜率为f′（x2），
故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有f′（x1）•f′（x2）=-1
当x＜0时，对函数f（x）求导，得f′（x）=2x+2．
因为x1＜x2＜0，所以（2x1+2）（2x2+2）=-1，
即4x1x2=-4（x1+x2）-5，
x2-x1=$\sqrt{（{x}_{2}+{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+4（{x}_{1}+{x}_{2}）+5}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}+2）^{2}+1}$，
当x1+x2=-2，时，x1x2=$\frac{3}{4}$，此时x1=-$\frac{3}{2}$，x2=-$\frac{1}{2}$，x2-x1取得最小值1．
（3）当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2．
当x1＜0时，函数f（x）的图象在点（x1，f（x1））处的切线方程为
y-（x12+2x1+a）=（2x1+2）（x-x1），即y=（2x1+2）x-x12+a
当x2＞0时，函数f（x）的图象在点（x2，f（x2））处的切线方程为
y-lnx2=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x2），即y=$\frac{1}{{x}_{2}}$•x+lnx2-1．
两切线重合的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{2}}=2{x}_{1}+2}\\{ln{x}_{2}-1=a-{{x}_{1}}^{2}}\end{array}\right.$，
由x1＜0＜x2知，-1＜x1＜0．
a=x12+ln$\frac{1}{2{x}_{1}+2}$-1=x12-ln（2x1+2）-1．
设h（x1）=x12-ln（2x1+2）-1（-1＜x1＜0），
则h′（x1）=2x1-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$＜0．
所以h（x1）（-1＜x1＜0）是减函数．
则h（x1）＞h（0）=-ln2-1，
所以a＞-ln2-1．
又当x1∈（-1，0）且趋近于-1时，h（x1）无限增大，所以a的取值范围是（-ln2-1，+∞）．
故当函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是（-ln2-1，+∞）．
点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件，考查化简运算的能力，属于中档题．
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