Question

4．设函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{x}{x+1}$，记F（x）=f（x）-g（x）
（1）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；
（2）求函数F（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数，即切线的斜率，再求出f（e）的值，代入直线方程的点斜式得答案；
（2）把f（x）、g（x）的解析式代入F（x）=f（x）-g（x）求其导函数后判断其符号，可得函数在[$\frac{1}{e}$，e²]上的单调性，由单调性求得函数最值．

解答 解：（1）由f（x）=lnx，得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}$，
∴${f}^{′}（e）=\frac{1}{e}$，又f（e）=lne=1，
∴曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为y-1=$\frac{1}{e}（x-e）$，
即x-ey=0；
（2）$F（x）=lnx-\frac{x}{x+1}$，${F}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{x+1-x}{（x+1）^{2}}=\frac{{x}^{2}+x+1}{x（x+1）^{2}}＞0$，
∴F（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e²]上单调递增，
∴$F（x）_{min}=F（\frac{1}{e}）=\frac{-e-2}{1+e}$，$F（x）_{max}=F（{e}^{2}）=\frac{{e}^{2}+2}{{e}^{2}-1}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．