Question

18．如图所示，四边形OABC是边长为1的正方形，$\overrightarrow{OA}$=e₁，$\overrightarrow{OC}$=e₂，D、E分别为AB、BC中点．
求：①用e₁、e₂表示$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$；
②计算$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$；
③∠DOE=θ，求cosθ

Answer 1

分析 ①运用向量的三角形法则，结合正方形的性质，即可得到所求向量；
②运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求；
③分别求得向量$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$的模，运用向量的夹角公式，计算整理即可得到所求值．

解答 解：①$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$；
②$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+0=1；
③|$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{{e}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
|$\overrightarrow{OE}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{{e}_{2}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{e}_{1}}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有cosθ=$\frac{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OE}}{|\overrightarrow{OD}|•|\overrightarrow{OE}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量夹角的求法，考查向量的加减运算，注意运用三角形法则，考查运算能力，属于中档题．