Question

已知等比数列{a_n}的公比为q（q≠1）的等比数列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差数列．
（Ⅰ）求公比q的值；
（Ⅱ）设{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，结合a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差数列，直接利用等差数列的性质列式进行计算；
（Ⅱ）求出等差数列{b_n}的前n项和，由S_n与b_n作差得到S_n-1，代入前n-1项和的表达式后因式分解，然后分类讨论比较
S_n与b_n的大小．

解答：解答：（Ⅰ）由数列{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差数列，
所以2a₂₀₁₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，即2a2011q2=a2011+a2011q，
∵a₂₀₁₁≠0，∴2q²-q-1=0．
∴q=1或q=-

1

2

，
又q≠1，∴q=-

1

2

；
（Ⅱ）数列{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，
公差q=-

1

2

，则Sn=2n+

n(n-1)

2

•(-

1

2

)=

-n2+9n

4

．
当n≥2时，Sn-bn=Sn-1=

-(n-1)2+9(n-1)

4

=

-n2+11n-10

4

=-

(n-1)(n-10)

4

，
故对于n∈N^*，当2≤n≤9时，S_n＞b_n；
当n=10时，S_n=b_n；
当n≥11时，S_n＜b_n．

点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了作差法比较两个数的大小，利用了分类讨论的数学思想方法，是中档题．