题目内容
8．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．（1）甲不在首位，乙不在末尾的排法种数；
（2）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（3）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望．
分析 （1）五个排序，排法总数为${A}_{5}^{5}$，甲在首位，乙在末尾的排法种数为${A}_{3}^{3}$，由此能求出甲不在首位，乙不在末尾的排法种数．
（2）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率．
（3）由已知得随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．
解答 解：（1）五个人排序，排法总数为${A}_{5}^{5}$，甲在首位，乙在末尾的排法种数为${A}_{3}^{3}$，
∴甲不在首位，乙不在末尾的排法种数为：
${A}_{5}^{5}-{A}_{3}^{3}$=114．
（2）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，
则P（A）=$\frac{2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{10}$．
∴甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为$\frac{1}{10}$．
（3）由已知得随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{2×{A}_{4}^{4}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=1）=$\frac{3×2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{2×{A}_{2}^{2}×3×{A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=3）=$\frac{2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{10}$，．
∴随机变量X 的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{2}{5}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{10}$ |
点评 本题考查等可能事件概率的计算，考查排列数公式的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题的关键是根据题意，正确列举基本事件空间，得到其包含基本事件的数目．
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
某程序据图如图所示，现输入如下四个函数：f（x）=x2，f（x）=$\frac{1}{x}$，f（x）=ex，f（x）=x3，则可以输出的函数（ ）| A． | f（x）=x2 | B． | f（x）=$\frac{1}{x}$ | C． | f（x）=ex | D． | f（x）=x3 |
| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | 3 | D． | $\frac{3}{4}$ |
| A． | {x|x＜-2015或0＜x＜2015} | B． | {x|x＜-2015＜x＜0或x＞2015} | ||
| C． | {x|x＜-2015或x＞2015} | D． | {x|-2015＜x＜0或0＜x＜2015} |