Question

19．函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）=4，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为4．

Answer 1

分析 由函数f（x-1）的图象关于（1，0）对称，且由y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象可知，函数y=f（x）的图象关于原点对称，即函数y=f（x）为奇函数，由已知条件可得函数的周期为4，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函数f（x-1）的图象关于（1，0）对称
且把y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，
∵f（x+2）=f（-x），又f（-x）=-f（x），
从而可得f（x+2）=-f（x），
将x换成x+2，可得f（x+4）=f（x），
即函数是以4为周期的周期函数，
∴f（2012）=f（503×4）=f（0）=0，
f（2013）=f（503×4+1）=f（1）=4，
f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=-f（0）=0，
即有f（2012）+f（2013）+f（2014）=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在．