Question

若α、β为锐角，且cos（α+β）=

12

13

，cos（2α+β）=

3

5

，则cosα等于

 

．

Answer 1

分析：根据α、β为锐角，得到α+β和2α+β的范围，由cos（α+β）=

12

13

，cos（2α+β）=

3

5

，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）和sin（2α+β）的值，把所求的式子中的角α变为（2α+β）-（α+β）后，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：由α、β为锐角，得到α+β∈（0，π），2α+β∈（0，

3π

2

），
又cos（2α+β）=

3

5

＞0，得到2α+β∈（0，

π

2

），
所以sin（α+β）=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，sin（2α+β）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
则cosα=cos[（2α+β）-（α+β）]
=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）
=

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

=

56

65

．
故答案为：

56

65

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．本题的关键是将所求式子中的角α变为（2α+β）-（α+β）．