Question

若曲线C：y=x³-2ax²+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，且a为整数．
（1）求曲线C的解析式；
（2）求过点（1，1）的曲线的切线方程．

Answer 1

分析：（1）根据曲线C：y=x³-2ax²+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，可得y'=3x²-4ax+2a＞0恒成立，结合a为整数，可求曲线C的解析式；
（2）设出切点坐标，表示出切线方程，利用切点在曲线及切线上，即可求得过点（1，1）的曲线的切线方程．

解答：解：（1）∵曲线C：y=x³-2ax²+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角
∴y'=3x²-4ax+2a＞0恒成立，
∴△=16a²-24a＜0，
∴a∈(0，

3

2

)，…．（3分）
∵a∈Z，
∴a=1，
∴f（x）=x³-2x²+2x…（6分）
（2）令切点为（(x0，x03-2x02+2x0)，
∴y-(x03-2x02+2x0)=(3x02-4x0+2)(x-x0)，…（8分）
∵点（1，1）在切线上，
∴1-(x03-2x02+2x0)=(3x02-4x0+2)(1-x0)，
∴2x03-5x02+4x0-1=0，
∴(x0-1)(2x02-3x0+1)=0，
∴(x0-1)2(2x0-1)=0，
∴x₀=1或x0=

1

2

．
∴切线方程为y=x或y=

3

4

x+

1

4

…．（12分）

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查切线的斜率，考查导数的几何意义，应注意区分过点的切线与在点处的切线含义的不同．