题目内容

(2012•宁德模拟)已知函数f(x)=2x+k•2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
分析:(1)利用函数f(x)=2x+k•2-x为奇函数,建立等式,即可求实数k的值;
(2)对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,即2x+k•2-x>2-x成立,即1-k<22x对任意的x∈[0,+∞)成立,从而可求实数k的取值范围.
解答:解:(1)∵函数f(x)=2x+k•2-x为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴2-x+k•2x=-(2x+k•2-x
∴(1+k)+(k+1)22x=0恒成立
∴k=-1
(2)∵对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,
∴2x+k•2-x>2-x成立
∴1-k<22x对任意的x∈[0,+∞)成立
∵y=22x在[0,+∞)上单调递增
∴函数的最小值为1
∴1-k<1
∴k>0
点评:本题考查函数的奇偶性,考查恒成立问题,解题的关键是利用奇偶性的定义,利用分离参数法求解恒成立问题.
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