Question

【题目】三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面.

（1）证明：是的中点；

（2）设，四边形为正方形，四边形为矩形，且异面直线与所成的角为30°，求两面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为.

【解析】

（1）取的中点，利用中位线得出利用线面平行的判定，得出平面，利用面面平行的判定得出平面平面进而得出而为的中点，所以为的中点。

（2）建立直角坐标系，设，，利用异面直线与所成的角为30°,求出进而求出二面角的余弦值。

（1）证明：取的中点，连、，因为为中点，所以.

平面，平面，平面.

又由已知平面，

且，所以平面平面.

又平面，所平面.

而平面，且平面平面，所以，而为的中点，所以为的中点.

（2）由题设知：、、两两垂直，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.

设，，则，，，，，

所以，.因为异面直线与所成的角为30°，

所以 ，解得：，于是.

设平面的法向量为，因为，

所以，取，则，所以.

又是平面的一个法向量，所以，

即二面角的余弦值为.