设函数f＝ex-ax.其中a为实数．上是单调减函数.且g上有最小值.求a的取值范围,上是单调增函数.试求f(x)的零点个数.并证明你的结论．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝e^x－ax，其中a为实数．
(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；
(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

(1) a∈(e，＋∞)．
(2) 当a≤0或a＝e^－1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e^－1时，f(x)的零点个数为2. 证明见解析

解析

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已知函数（e为自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得成立，求实数的取值范围

设f(x)＝ln(x²＋1)，g(x)＝x²－.
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间，并证明对[－1，1]上的任意x₁，x₂，x₃，都有F(x₁)＋F(x₂)>F(x₃)；
(2)将y＝f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位，同时将y＝g(x)的图像向上平移b(b>0)个单位，使它们恰有四个交点，求的取值范围．

设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x³－x²－3.
(1)如果存在x₁，x₂∈[0,2]使得g(x₁)－g(x₂)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为，并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

已知函数f(x)＝a^x＋x²，g(x)＝xln a，a>1.
(1)求证：函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数y＝－3有四个零点，求b的取值范围；
(3)若对于任意的x₁，x₂∈[－1,1]时，都有|F(x₂)－F(x₁)|≤e²－2恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)＝e^x－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．

设函数f(x)＝ax－(1＋a²)x²，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．

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