已知抛物线的顶点是坐标原点O.焦点F在x轴正半轴上.抛物线上一点(3.m)到焦点距离为4.过点F的直线l与抛物线交于A.B两点．(Ⅰ)求抛物线的方程,(Ⅱ)若点P在抛物线准线上运动.其纵坐标的取值范围是[-2.2].且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=16$.点Q是以AB为直径的圆与准线的一个公共点.求点Q的纵坐标的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，抛物线上一点（3，m）到焦点距离为4，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点P在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是[-2，2]，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=16$，点Q是以AB为直径的圆与准线的一个公共点，求点Q的纵坐标的取值范围．

分析（Ⅰ）设出抛物线方程，利用抛物线上一点（3，m）到焦点距离为4，求出p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty+1，联立抛物线消去x，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=16$，确定2t的范围，根据抛物线的定义可知，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，可得点Q的纵坐标为$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2t$，即可求出点Q的纵坐标的取值范围．

解答解：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px（p＞0）…（1分）
由题意可得：$3+\frac{p}{2}=4$，∴p=2…（3分）
所求抛物线方程为y²=4x…（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty+1，
联立抛物线消去x，得y²=4（ty+1），即y²-4ty-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
所以${x_1}{x_2}=（t{y_1}+1）（t{y_2}+1）={t^2}{y_1}{y_2}+t（{y_1}+{y_2}）+1=1$，${x_1}+{x_2}=4{t^2}+2$…（7分）
由条件可设P的坐标为（-1，a）（-2≤a≤2），
则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}{y_2}-a（{y_1}+{y_2}）+{a^2}$=1+4t²+2+1-4-4at+a²=4t²-4at+a²=（2t-a）²=16．
所以2t-4=a或2t+4=a，而-2≤a≤2，
所以2≤2t≤6或-6≤2t≤-2…（10分）
根据抛物线的定义可知，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
所以点Q的纵坐标为$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2t$，
从而点Q的纵坐标的取值范围是[-6，-2]∪[2，6]…（13分）