题目内容

在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且
a2
b2
=tanAcotB

(1)证明:sin2A=sin2B;
(2)若a=3,b=4,求|
CA
+
CB
|
的值;
(3)若C=60°,△ABC的面积为
3
,求
AB
BC
+
BC
CA
+
CA
AB
的值.
分析:(1)利用正弦定理把题设中的等式的边转化成角的正弦,化简整理,利用二倍角公式求得sin2A=sin2B,原式得证.
(2)由(1)中的结论可推断出A+B=
π
2
,进而利用勾股定理求得c,进而利用向量的运算法则求得|
CA
+
CB
|
的值.
(3)由(1)中的结论可推断出A=B或A+B=
π
2
,进而根据C=
π
3
推断出△ABC为等边三角形,进而利用三角形面积公式求得a的值,进而根据平面向量数量积的运算求得答案.
解答:解:(1)证明:由
a2
b2
=tanAcotB
得sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
(2)解:由上题知sin2A=sin2B及a≠b
得2A+2B=π
∴A+B=
π
2
,c=
a2+b2
=5

|
CA
+
CB
|2=|
CA
|2+|
CB
|2+2
CA•
CB
=9+16
|
CA
+
CB
|=5

(3)由(1)知A=B或A+B=
π
2
又∵C=
π
3

∴A=B=C=
π
3
即△ABC为等边三角形
3
4
a2=
3
∴a2=4,a=2
AB
BC
+
BC
CA
+
CA
AB
=3×2×2cos
2
3
π
=-6
点评:本题主要考查了正弦定理的应用,平面向量的基本运算.考查了学生综合分析问题和基本的运算能力.
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