题目内容

已知f（x）为定义在非零实数集上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）在定义域上恒成立，则（　　）
分析：令辅助函数F（x）=
f(x)
x
，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出F（2012）与F（2013）的关系，利用不等式的性质得到结论．
解答：解：令F（x）=
f(x)
x
，则F′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2
，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）=
f(x)
x
为定义域上的减函数，∵2012＜2013，∴
f(2012)
2012
＞
f(2013)
2013
，
∴2012•f（2013）＜2013•f（2012）．
故选A．
点评：本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．此题为中档题．
练习册系列答案
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已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A、f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）B、f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）C、f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）D、f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）
已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2013）+f（-2014）的值为
1
1
．
已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=
2x2x+1
．
（1）证明函数f（x）在（0，1）是增函数
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．
给出下列命题：
①f(x)=
4-x2
+
x2-4
既是奇函数，又是偶函数；
②f（x）=x和f(x)=
x2
x
为同一函数；
③已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
④函数y=
x
2x2+1
的值域为[-
2
4
，
2
4
]．
其中正确命题的序号是
①④
①④
．
已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，有（　　）
A、f（x）=-x（1+x）B、f（x）=-x（1-x）C、f（x）=x（1-x）D、f（x）=x（x-1）

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