Question

已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（2013）+f（-2014）的值为

1

．

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x）求出函数的周期，由当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1）求出f（0）及f（1）的值，然后利用周期性求解f（2013）+f（-2014）的值．

解答：解：由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=f（x），
∴f（x）在x≥0时是以4为周期的周期函数．
则f（2013）+f（-2014）
=f（503×4+1）+f（2014）
=f（1）+f（2）
∵x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1．
f（0）=log₂（0+1）=0．
由f（x+2）=-f（x），得f（2）=-f（0）=0．
∴f（2013）+f（-2014）=1．
故答案为1．

点评：本题考查了对数的运算性质，考查了函数的奇偶性，解答的关键是利用已知条件求出周期，是中档题．