题目内容
已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=
．
（1）证明函数f（x）在（0，1）是增函数
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．
| 2x | 2x+1 |
（1）证明函数f（x）在（0，1）是增函数
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．
分析：（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，先在区间上任取两一定大小的值，再通过作差法比较两值对应函数值的大小，最后判断单调性；（2）先求函数在（-1，0）上的解析式，利用奇函数的定义和已知解析式即可，再求f（0），最后将定义域上的函数的解析式写成分段函数
解答：解：①任取0＜x1＜x2＜1，
f(x1)-f(x2)=
-
=
∵0＜x1＜x2＜1
∴2x1＜2x2
2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，1）上是增函数
②当x∈（-1，0）时，-x∈（-1，0）
∴f(x)=-f(-x)=-
当x=0时，f（x）=0
∴f(x)=
f(x1)-f(x2)=
| 2x1 |
| 2x1+1 |
| 2x2 |
| 2x2+1 |
| 2x1-2x2 |
| (2x1+1)(2x2+1) |
∵0＜x1＜x2＜1
∴2x1＜2x2
2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，1）上是增函数
②当x∈（-1，0）时，-x∈（-1，0）
∴f(x)=-f(-x)=-
| 1 |
| 2x+1 |
当x=0时，f（x）=0
∴f(x)=
|
|
点评：本题考查了函数单调性的定义及其证明方法，函数的奇偶性及其应用，利用对称性求函数的解析式的方法
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（ ）
| A、f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0） | B、f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0） | C、f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0） | D、f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0） |
已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，有（ ）
| A、f（x）=-x（1+x） | B、f（x）=-x（1-x） | C、f（x）=x（1-x） | D、f（x）=x（x-1） |