Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2

2

，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：平面CDE⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-CE-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，可以证明CD⊥平面ABB₁A₁，再利用面面垂直的判定定理，可得结论；
（2）求出S_△A1CE、S_△CED，利用比值，即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AC=BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥CD
∵BB₁∩AB=B，∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABB₁A₁；
（2）解：由题意，在△CEA₁中，CA₁=2

3

，EA₁=

10

，CE=

6

∴cos∠A₁CE=

12+6-10

2•2 3 • 6

=

2

3

∴sin∠A₁CE=

7

3

∴S_△A1CE=

1

2

•2

3

•

6

•

7

3

=

14

∵S_△CED=

1

2

•2•

2

=

2

∴二面角D-CE-A₁的余弦值为

2

14

=

7

7

∴二面角D-CE-A₁的大小为

7

7

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．