题目内容
5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P（$\sqrt{3}$，y0）在该双曲线上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则双曲线的渐近线方程为（ ）| A． | y=±x | B． | $y=±\sqrt{2}x$ | C． | $y=±\sqrt{3}x$ | D． | y=±2x |
分析 求出双曲线的焦点，求得向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐标，由条件运用向量的数量积的坐标表示可得方程，再由P满足双曲线方程，解方程可得b，再由双曲线的渐近线方程即可得到．
解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左右焦点分别为F1（-$\sqrt{2+{b}^{2}}$，0），F2（$\sqrt{2+{b}^{2}}$，0），
点P（$\sqrt{3}$，y0）在该双曲线上，
则$\frac{3}{2}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即有y02=$\frac{1}{2}$b2，①
又$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{2+{b}^{2}}$-$\sqrt{3}$，-y0），
$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{2+{b}^{2}}$-$\sqrt{3}$，-y0），
若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
则（-$\sqrt{2+{b}^{2}}$-$\sqrt{3}$）•（$\sqrt{2+{b}^{2}}$-$\sqrt{3}$）+y02=0，②
解得b2=2，即b=$\sqrt{2}$．
即有双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{\sqrt{2}}$x．
即为y=±x．
故选A．
点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的求法，同时考查向量的数量积的坐标表示和向量垂直的条件，属于中档题．
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