题目内容
【题目】已知椭圆 经过点
,其离心率
.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设动直线 与椭圆
相切,切点为
,且
与直线
相交于点
.
试问:在 轴上是否存在一定点,使得以
为直径的圆恒过该定点?若存在,
求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,得 .又
,
在 中,
,所以
.
所以椭圆 的标准方程为
.
(Ⅱ)设
,
,则
,
.
因为点 在椭圆
上,所以
.即
.
又
,所以直线
的方程为
.
令 ,得
.
又
,
为线段
的中点,所以
.
所以 ,
.
因为
,
所以 .
.
【解析】(1)根据题意可以知:将点代入椭圆的方程利用椭圆的离心率公式即可求得a和b的值,即可求得椭圆的方程。(2)将直线方程代入椭圆的方程由判别式等于零求得关于m的方程,利用韦达定理以及中点坐标公式求T的坐标联立即可求出S点的坐标,结合向量的数量积坐标运算可求得点A的坐标即可求得以ST为直径的圆恒过该定点(1,0)。
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