Question

17．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁作直线l与椭圆交于M，N两点，若|MF₂|=|F₁F₂|，且3|MF₁|=4|NF₁|，则椭圆的离心率是$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可设|MF₁|=4，|NF₁|=3，运用椭圆的定义，可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，取MF₁的中点K，连接KF₂，则KF₂⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
F₁（-c，0），F₂（c，0），|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
3|MF₁|=4|NF₁|，可设|MF₁|=4，|NF₁|=3，
由椭圆的定义可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，
|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，
即a-c=2，①
取MF₁的中点K，连接KF₂，则KF₂⊥MN，
由勾股定理可得|MF₂|²-|MK|²=|NF₂|²-|NK|²，
即为4c²-4=（2a-3）²-25，化简即为a+c=12，②
由①②解得a=7，c=5，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．