题目内容

（2012•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（-1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．
分析：（Ⅰ）根据F1（-1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；
（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则 d=
|m1-m2|
1+k2
，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．
解答：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
因为F1（-1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．
所以，a2=b2+c2=2．…（2分）
所以，椭圆G的标准方程为
x2
2
+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
（ⅰ）证明：由
y=kx+m1
x2
2
+y2=1.
消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2
m
2
1
-2=0．
则△=8(2k2-
m
2
1
+1)＞0，
x1+x2=-
4km1
1+2k2
x1x2=
2
m
2
1
-2
1+2k2
.
…（5分）
所以 |AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
(-
4km1
1+2k2
)2-4•
2
m
2
1
-2
1+2k2
=2
2
1+k2
2k2-
m
2
1
+1
1+2k2
．
同理 |CD|=2
2
1+k2
2k2-
m
2
2
+1
1+2k2
．…（7分）
因为|AB|=|CD|，
所以 2
2
1+k2
2k2-
m
2
1
+1
1+2k2
=2
2
1+k2
2k2-
m
2
2
+1
1+2k2
．
因为 m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）
（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则 d=
|m1-m2|
1+k2
．因为 m1+m2=0，所以 d=
|2m1|
1+k2
．…（10分）
所以 S=|AB|•d=2
2
1+k2
2k2-
m
2
1
+1
1+2k2
•
|2m1|
1+k2
=4
2
(2k2-
m
2
1
+1)
m
2
1
1+2k2
≤4
2
2k2-
m
2
1
+1+
m
2
1
2
1+2k2
=2
2
．
（或S=4
2
(2k2+1)
m
2
1
-
m
4
1
(1+2k2)2
=4
2
-(
m
2
1
1+2k2
-
1
2
)2+
1
4
≤2
2
）
所以 当2k2+1=2
m
2
1
时，四边形ABCD的面积S取得最大值为2
2
．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．
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2
2
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