题目内容
【题目】已知椭圆
，过右焦点
的直线
与椭圆
交于
两点，且当点
是椭圆的上顶点时，
，线段
的中点为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）延长线段
与椭圆交于点
，若
，求此时的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意可以知
，可求出点
的坐标，又点在椭圆
上，将点的坐标代入椭圆方程，即可求出
，进而求出椭圆方程；
（2）当直线
与垂直或与
轴重合时，不满足题意，故可设直线方程为：
，由
可知四边形
为平行四边形，可得点
为线段
的中点，再根据点差法即可求出结果.
（1）由题意可以知，
、
，设
则
∵点在椭圆上 ∴
解得
∴
∴椭圆的方程为：
（2）当直线与垂直或与轴重合时，不满足题意
∴可直线方程为：
设
、
、
、
由可知四边形为平行四边形
∴点为线段的中点
由为线段
的中点，点、在椭圆上
∴
则
可得
又∵
可解得
∴
∵点
在椭圆上
∴
整理得
解得
或
舍去
∴
可知的方程为
即.
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