Question

已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：
①y=f（x）为偶函数，则y=f（x+2）的图象关于y轴对称；
②y=f（x+2）为偶函数，则y=f（x）关于直线x=2对称；
③若f（x-2）=f（2-x），则y=f（x）关于直线x=2对称；
④y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．
其中正确命题序号有

②④

．（填上所有正确命题序号）

Answer 1

分析：根据偶函数的图象关于y轴（x=0）对称，将函数f（x）的图象向左平移两个单位后得到f（x+2）的图象（将函数f（x+2）的图象向右平移两个单位后得到f（x）的图象），根据函数图象的平移，对称轴也跟着平移的原则，可对①②进行判断．对于③，将x-2看成整体，可得f（x）是偶函数，从而其图象关于y轴对称；对于④从两个函数的形式上可以看出，此两函数都是抽象函数，可以分别看作函数y=f（x）与y=f（-x）的图象向右移了两个单位而得到，由此问题变化为研究f（x）与y=f（-x）的图象的对称性，再由平移规律得出函数y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象的对称轴即可．

解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴函数f（x）的图象关于y轴（x=0）对称
将函数f（x）的图象向左平移两个单位后得到f（x+2）的图象
故f（x+2）的图象关于x=-2对称，①不正确；
反之当f（x+2）是偶函数时，函数f（x+2）的图象关于y轴（x=0）对称
将函数f（x+2）的图象向右平移两个单位后得到f（x）的图象
函数f（x）的图象关于x=2对称，②正确；
对于③，将x-2看成整体，可得f（t）=f（-t），从而f（x）是偶函数，从而其图象关于y轴对称；故③错；
④：∵f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称
又函数y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象可以由f（x）与y=f（-x）的图象向右移了个单位而得到，
∴函数y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，正确．
故答案为：②④．

点评：本题考点是两个函数图象的对称性、奇偶函数图象的对称性质，函数图象的平移变换，考查根据已知函数图象的性质来判断与之相关函数性质的能力，即图象变换的能力，其中正确理解函数图象的平移，对称轴也跟着平移的原则，是解答本题的关键．