题目内容
探究函数f(x)=x+
，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若x1x2=4，则f（x1）
，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在区间
（2）当x=
，（x＞0）的最小值为
（3）试用定义证明f(x)=x+
，在区间（0，2）上单调递减．
| 4 |
| x |
| x | … |
|
|
1 |
|
2 |
|
4 | 8 | 16 | … | ||||||||
| y | … | 16.25 | 8.5 | 5 |
|
4 |
|
5 | 8.5 | 16.25 | … |
（1）若x1x2=4，则f（x1）
=
=
f（x2）（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+| 4 |
| x |
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增；（2）当x=
2
2
时，f(x)=x+| 4 |
| x |
4
4
；（3）试用定义证明f(x)=x+
| 4 |
| x |
分析：（1）根据x1x2=4，将x1=
代入函数解析式，可得结论，根据表中y值随x值变化的特点可得函数的增区间；
（2）根据表中y值随x值变化的特点可得函数的最值；
（3）证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，设0＜x1＜x2＜2，然后判定f（x1）与f（x2）的大小，属于中档题．
| 4 |
| x2 |
（2）根据表中y值随x值变化的特点可得函数的最值；
（3）证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，设0＜x1＜x2＜2，然后判定f（x1）与f（x2）的大小，属于中档题．
解答：解：（1）∵x1x2=4，f（x1）=f（
）=x2+
=f（x2）
故答案为：=，（2，+∞） （左端点可以闭） …（2分）
（2）根据（1）可知x=2时，ymin=4 …（6分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则f（x1）-f（x2）=(x1+
)-(x2+
)=(x1-x2)+(
-
)
=(x1-x2)+
=(x1-x2)(
)…（9分）
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴x1x2-4＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，2）上递减 …（12分）
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x2 |
故答案为：=，（2，+∞） （左端点可以闭） …（2分）
（2）根据（1）可知x=2时，ymin=4 …（6分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则f（x1）-f（x2）=(x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
=(x1-x2)+
| 4x2-4x1 |
| x1x2 |
| x1x2-4 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴x1x2-4＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，2）上递减 …（12分）
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |