题目内容
（2012•枣庄二模）已知椭圆C：
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| ||
|
| 3 |
| 2 |
| x | 2 |
| y | 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定点的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）问的条件下，求以线段MN为直径的圆的面积的最小值．
分析：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，
），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-
）2=(
)2，验证（1，0），（7，0）在圆上；
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），故可得线段MN为直径的圆的半径的最小值，从而可得结论．
| 3 |
| 2 |
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-
| m+n |
| 2 |
| m-n |
| 2 |
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），故可得线段MN为直径的圆的半径的最小值，从而可得结论．
解答：解：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，
），
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b2=a2-1=3
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±
不妨令P（1，
），Q（1，-
）
由A，P，M三点共线，得
=
，∴m=3
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM=
=
∴直线AM的方程为y=
(x+2)
代入椭圆方程，整理可得（27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则-2与x1是上述方程的两个实根
∴-2x1=
，∴x1=
，∴y1=
∴P（
，
）
同理可得Q（
，
）
∴kFP=
=
，kFQ=
=
∵P，F，Q三点共线，∴
=
∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-
）2=(
)2
将（1，0）代入上式的坐标，可得（1-4）2+（0-
）2=-mn++（
）2=(
)2
∴以线段MN为直径的圆的方程经过点（1，0）
同理（7，0）也在圆上，
综上，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），
故以线段MN为直径的圆的半径的最小值为
=3
∴以线段MN为直径的圆的面积的最小值为9π．
| 3 |
| 2 |
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b2=a2-1=3
∴椭圆C的方程为
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±
| 3 |
| 2 |
不妨令P（1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
由A，P，M三点共线，得
| m-0 |
| 4-(-2) |
| ||
| 1-(-2) |
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM=
| m-0 |
| 4-(-2) |
| m |
| 6 |
∴直线AM的方程为y=
| m |
| 6 |
代入椭圆方程，整理可得（27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则-2与x1是上述方程的两个实根
∴-2x1=
| 4m2-108 |
| 27+m2 |
| 54-2m2 |
| 27+m2 |
| 18m |
| 27+m2 |
∴P（
| 54-2m2 |
| 27+m2 |
| 18m |
| 27+m2 |
同理可得Q（
| 54-2n2 |
| 27+n2 |
| 18n |
| 27+n2 |
∴kFP=
| y1 |
| x1-1 |
| 6m |
| 9-m2 |
| y2 |
| x2-1 |
| 6n |
| 9-n2 |
∵P，F，Q三点共线，∴
| 6m |
| 9-m2 |
| 6n |
| 9-n2 |
∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-
| m+n |
| 2 |
| m-n |
| 2 |
将（1，0）代入上式的坐标，可得（1-4）2+（0-
| m+n |
| 2 |
| m+n |
| 2 |
| m-n |
| 2 |
∴以线段MN为直径的圆的方程经过点（1，0）
同理（7，0）也在圆上，
综上，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），
故以线段MN为直径的圆的半径的最小值为
| 7-1 |
| 2 |
∴以线段MN为直径的圆的面积的最小值为9π．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．
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