Question

（2013•嘉兴一模）已知函数f（x）=mx³-x+

1

3

，以点N（2，n）为切点的该图象的切线的斜率为3
（I）求m，n的值
（II）已知g(x)=-

a+1

2

x2+(a+1)x(a＞0)，若F（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上有最大值1，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由N点处切线斜率为3可得f′（2）=3，由此可得m值，则n=f（2），算出即可；
（II）求出F′（x），按照0＜a＜1，a=1，1＜a＜2，a≥2进行讨论：研究函数F（x）在[0，2]上的单调性、极值，根据其最大值为1可得不等式，解出即可；

解答：解：（I）f′（x）=3mx²-1，
由题意得f′（2）=12m-1=3，解得m=

1

3

，
所以f（x）=

1

3

x³-x+

1

3

，
所以n=f（2）=1；
（II）因为F（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax+

1

3

，
所以F′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），令F′（x）=0得x=1或x=a，
当0＜a＜1时，令F′（x）＞0得0＜x＜a，或1＜x＜2，令F′（x）＜0得a＜x＜1，
因为F（x）在[0，2]上有最大值 1，F（2）=1，所以F（a）≤1，即a³-3a²+4≥0，
令g（a）=a³-3a²+4，则g′（a）=3a²-6a=3a（a-2），所以g′（a）＜0，
所以g（a）＞g（1）=0，所以0＜a＜1；
当a=1时，F′（x）=x²-2x+1=（x-1）²≥0，F（x）≤F（2）=1成立；
当1＜a＜2时，令F′（x）＞0得0＜x＜1或a＜x＜2，令F′（x）＜0得1＜x＜a，F（2）=1，
因为F（x）在[0，2]上有最大值 1，所以F（1）≤1，即

1

3

-

a+1

2

+a+

1

3

≤1，解得a≤

5

3

，所以1＜a≤

5

3

；
当a≥2时，由F（x）的单调性知F（x）_max=F（1）＞F（2），故不成立；
综上，实数a的范围是0＜a≤

5

3

．

点评：本题考查利用导数研究函数在某点处的切线方程、函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力，综合性强，难度大．