题目内容
已知圆C的方程为x2+y2=4，动点P满足：过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，记所有满足条件的点P形成的几何图形为曲线M．
（1）写出曲线M所对应的方程；（不需要解答过程）
（2）过点S（0，2）的直线l与圆C交于A，B两点，与曲线M交于E，F两点，若AB=2EF，求直线l的方程；
（3）设点T（x0，y0）．
①当y0=0时，若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，求实数x0的取值范围；
②若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，试探求实数x0，y0应满足的条件．
（1）写出曲线M所对应的方程；（不需要解答过程）
（2）过点S（0，2）的直线l与圆C交于A，B两点，与曲线M交于E，F两点，若AB=2EF，求直线l的方程；
（3）设点T（x0，y0）．
①当y0=0时，若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，求实数x0的取值范围；
②若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，试探求实数x0，y0应满足的条件．
分析：（1）由于过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，所以满足条件的点P形成的几何图形是以O为圆心，
为半径的圆，从而可求曲线M所对应的方程；
（2）分类讨论：当斜率不存在时，结论不成立；当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，利用圆心到直线的距离，结合AB=2EF，可求直线l的方程；
（3）①假设存在，要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径，故可建立不等关系，从而可求；②根据①的探究方法，结合图形，可得结论．
| 3 |
（2）分类讨论：当斜率不存在时，结论不成立；当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，利用圆心到直线的距离，结合AB=2EF，可求直线l的方程；
（3）①假设存在，要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径，故可建立不等关系，从而可求；②根据①的探究方法，结合图形，可得结论．
解答：解：（1）由题意，∵过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，
∴满足条件的点P形成的几何图形是以O为圆心，
为半径的圆
∴曲线M所对应的方程为：x2+y2=3
（2）当斜率不存在时，结论不成立
当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，圆心到直线的距离为
由题意AB=2EF，∴4-
=4×(3-
)，
∴k=±
∴直线l的方程为y=±
x+2；
（3）①不妨假设一条直线方程为y=k（x-x0）（k＞0），则另一条直线方程为y=-
(x-x0)
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
∴-2
＜x0＜2
，-2
＜x0＜2
∴-2＜x0＜2
②不妨假设一条直线方程为y-y0=k（x-x0）（k＞0），则另一条直线方程为y-y0=-
(x-x0)
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
由①探求可知，点T必须在圆的内部，此时才能始终存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点
∴x02+y02＜4
∴满足条件的点P形成的几何图形是以O为圆心，
| 3 |
∴曲线M所对应的方程为：x2+y2=3
（2）当斜率不存在时，结论不成立
当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，圆心到直线的距离为
| 2 | ||
|
由题意AB=2EF，∴4-
| 4 |
| k2+1 |
| 4 |
| k2+1 |
∴k=±
| ||
| 2 |
∴直线l的方程为y=±
| ||
| 2 |
（3）①不妨假设一条直线方程为y=k（x-x0）（k＞0），则另一条直线方程为y=-
| 1 |
| k |
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
∴-2
|
|
| k2+1 |
| k2+1 |
∴-2＜x0＜2
②不妨假设一条直线方程为y-y0=k（x-x0）（k＞0），则另一条直线方程为y-y0=-
| 1 |
| k |
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
由①探求可知，点T必须在圆的内部，此时才能始终存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点
∴x02+y02＜4
点评：本题的考点是直线与圆的方程的应用，主要考查求解直线与圆的方程，解题时应主要分类讨论，否则会漏解．
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