题目内容
8.抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点到其准线的距离是2.(1)求抛物线C的标准方程;
(2)直线l与抛物线C交于A,B两点,若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4,且|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{6}$,求直线l的方程.(O为坐标原点)
分析 (1)利用抛物线的标准方程可得,焦点到准线的距离为p,从而得到抛物线C的标准方程;
(2)设直线l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程,利用韦达定理,结合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4,求出b,利用|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{6}$,求出k,即可求直线l的方程.
解答 解:(1)由题意可知,p=2,则抛物线C的方程x2=4y;
(2)设直线l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程可得x2-4kx-4b=0,
则△>0得k2+b>0;①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b,
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4可得x1x2+y1y2=-4,整理可得(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=-4,
即(k2+1)(-4b)+kb×4k+b2=-4,
化简可得b2-4b+2=0,故b=2; ②
由于|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$=4$\sqrt{6}$,
解得,k4+3k2-4=0,
故k=±1;③
把②③代入①,显然成立,
综上,直线l的方程为y=x+2或y=-x+2.
点评 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

练习册系列答案
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3.下列命题中,错误的是( )
A. | 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 | |
B. | 平行于同一平面的两条直线不一定平行 | |
C. | 如果平面α,β垂直,则过α内一点有无数条直线与β垂直 | |
D. | 如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β |
18.过点(0,5)且在两坐标轴上截距之和为2的直线方程为( )
A. | 3x+5y+15=0 | B. | 5x+3y-15=0 | C. | 5x-3y+15=0 | D. | 3x-5y-15=0 |