Question

8．抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点到其准线的距离是2．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，且|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{6}$，求直线l的方程．（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的标准方程可得，焦点到准线的距离为p，从而得到抛物线C的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，求出b，利用|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{6}$，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）由题意可知，p=2，则抛物线C的方程x²=4y；
（2）设直线l的方程为y=kx+b，代入抛物线方程可得x²-4kx-4b=0，
则△＞0得k²+b＞0；①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4可得x₁x₂+y₁y₂=-4，整理可得（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=-4，
即（k²+1）（-4b）+kb×4k+b²=-4，
化简可得b²-4b+2=0，故b=2； ②
由于|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$=4$\sqrt{6}$，
解得，k⁴+3k²-4=0，
故k=±1；③
把②③代入①，显然成立，
综上，直线l的方程为y=x+2或y=-x+2．

点评 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．