Question

【题目】设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．

（1）证明函数是定义域上的函数；

（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由；

（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不是函数；（3）证明见解析．

【解析】

（1）证明如下：对任意实数及，

有

，

即，

∴是函数；

（2）不是函数，

说明如下（举反例）：

取，，，

则

，

即，

∴不是函数；

（3）假设是上的函数，

若存在且，使得

（i）若，

记，，，则，且，

那么

，

这与矛盾；

（ii）若，

记，，，同理也可得到矛盾；

∴在上是常数函数，

又因为是周期为的函数，

所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾.

所以不是上的函数.