Question

已知函数f(x)＝ax²－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．

Answer 1

（1）   （2）(－∞，2]∪[6，＋∞)

解：(1)f(x)＝a(x－1)²＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故，⇒
⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒
⇒
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，
即f(x)＝x²－2x＋2.
g(x)＝x²－2x＋2－mx
＝x²－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，
∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．