Question

6．已知集合A={x|x²-（3a+3）x+2（3a+1）＜0，x∈R}，集合B={x|$\frac{x-2a}{x-{（a}^{2}+1）}$＜0，x∈R}．
（1）当4∉B时，求实数a的取值范围；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用4∉B，可得$\frac{4-2a}{4-（{a}^{2}+1）}$≥0或4-（a²+1）=0，即可求实数a的取值范围；
（2）化简A，B，分类讨论，利用B⊆A，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵4∉B，
∴$\frac{4-2a}{4-（{a}^{2}+1）}$≥0或4-（a²+1）=0，
∴-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$或a≥2；
（2）集合A={x|x²-（3a+3）x+2（3a+1）＜0，x∈R}={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|$\frac{x-2a}{x-{（a}^{2}+1）}$＜0，x∈R}={x|2a＜x＜a²+1}．
3a+1＞2时，a＞$\frac{1}{3}$，A=（2，3a+1），B⊆A，则$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\end{array}\right.$，∴1≤a≤3；
3a+1＜2时，a＜$\frac{1}{3}$，A=（3a+1，2），B⊆A，则$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≤2a}\\{{a}^{2}+1≤2}\end{array}\right.$，∴a=-1，
3a+1=2时，A=∅，不成立，
综上，1≤a≤3或a=-1．

点评 本题考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．