Question

如图，已知点D（0，－2），过点D作抛物线：的切线l,切点A在第二象限。

（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过A点，设切线l交椭圆的另一点为B，若设切线l,直线OA，OB的斜率为k,,①试用斜率k表示②当取得最大值时求此时椭圆的方程。

Answer 1

（1）2，（2）①，②

解析试题分析：（1）设切点A，则，再利用导数的几何意义得在切点A的导数值为切线的斜率，即，而，所以（2）①要求函数关系式，一要确定自变量k的取值范围，这可由切线l斜率及得到.二是建立与k的等量关系，这是一个复杂消参的过程.先设，则.在使用韦达定理之前先要做一个工作，就是将椭圆方程用k表示.因为，代入椭圆方程得，而，所以，，因此椭圆方程为，到此再利用韦达定理可解得，② 利用函数为单调增函数，得当k= 1时，取到最大值，此时P＝4，故椭圆的方程为.
试题解析：解：（1）设切点A，依题意则有
解得，即A点的纵坐标为2                        3分
（2）依题意可设椭圆的方程为，直线AB方程为：；由得①
由（1）可得A，将A代入①可得，
故椭圆的方程可简化为；           5分
联立直线AB与椭圆的方程：消去Y得：，则            8分
又∵,∴k∈［－2，－1］；即……9分
②由可知上为单调递增函数，故当k= 1时，取到最大值，此时P＝4，故椭圆的方程为…12分
考点：利用导数求切线斜率，直线与椭圆位置关系