题目内容
【题目】如图,正方体,则下列四个命题:
①点在直线
上运动,三棱锥
的体积不变
②点在直线
上运动,直线
与平面
所成角的大小不变
③点在直线
上运动,二面角
的大小不变
④点是平面
上到点
和
距离相等的动点,则
的轨迹是过点
的直线.
其中的真命题是( )
A.①③B.①③④C.①②④D.③④
【答案】B
【解析】
①由正方体的性质,易知平面
,因此直线
上的点到平面
的距离不变,又
的面积不变,所以体积不变.②点
在直线
上运动,
的大小在改变,所以直线
与平面
所成角的大小改变,③点
在直线
上运动,两面的位置不变,所以二面角
的大小不变.④用向量法来判断,建立空间直角坐标系,设
,由
的方程来判断.
①由正方体的性质可得:,于是
平面
,因此直线
上的点到平面
的距离不变,点
在直线
上运动,又
的面积不变,因此三棱锥
的体积
不变.
②点在直线
上运动,由①可知:直线
上的点到平面
的距离不变,而
的大小在改变,因此直线
与平面
所成角的大小改变,故不正确.
③点在直线
上运动,由①可知:点
到平面
的距离不变,点
到
的距离不变,可得二面角
的大小不变,正确;
④如图所示,
不妨设正方体的棱长为,
,
,设
,∵
,则
,化为
,因此
的轨迹是过点
的直线,正确.
其中真命题是①③④.
故选:B
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