Question

已知⊙C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l与⊙C相切且分别交x轴、y轴正向于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（Ⅰ）求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅱ）求△ABC面积的极小值．

Answer 1

分析：设A（a，O），B（O，b）．直线AB的方程为bx+ay-ab=0，推出a，b的关系
（Ⅰ）设出AB的中点P的坐标，推出a，b与P的坐标的关系，代入a，b的关系，求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅱ）求出ab的范围，通过三角形的面积公式，利用基本不等式，即可求△ABC面积的极小值．

解答：解：⊙C：（x-1）²+（y-1）²=1，A（a，O），B（O，b）．
设直线AB的方程为
bx+ay-ab=0，∵直线AB与⊙C相切，
∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1⇒ab-2(a+b)+2=0①…（2分）
（Ⅰ）设AB中点P（x，y），则x=

a

2

，y=

b

2

⇒a=2x，b=2y
代入①得P点的轨迹方程：2xy-2x-2y+1=0，∵a＞2，∴x＞1．
∴P点的轨迹方程为（x-1）（y-1）=

1

2

（x＞1）．…（7分）
（Ⅱ）由①得ab=2(a+b)-2≥4

ab

-2⇒ab-4

ab

+2≥0⇒

ab

≥2+

2

，
当且仅当a=b=2+

2

时等号成立．
S_△AOB=

1

2

ab≥3+2

2

．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，点到直线的距离与基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力．