Question

已知⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0．
（1）若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程．
（2）从圆外一点P（x₀，y₀）向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．

Answer 1

分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，
（1）分两种情况：当切线过原点时设为y=kx，由圆心到切线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当切线不过原点时，设为x+y=a，同理求出a的值，即可确定出切线方程；
（2）根据|PM|=|PO|，利用两点间的距离公式列出关系式，得到x₀与y₀的关系式，用y₀表示出x₀，代入|PM|中，利用二次函数的性质求出|PM|最小时y₀的值，进而确定出x₀的值，即可确定出此时P的坐标．

解答：解：⊙C：（x+1）²+（y-2）²=4，圆心C（-1，2），半径r=2，
（1）若切线过原点设为y=kx，则

|-k-2|

1+k2

=2，
解得：k=0或

4

3

，
若切线不过原点，设为x+y=a，则

|-1+2-a|

2

=2，
解得：a=1±2

2

，
则切线方程为：y=0，y=

4

3

x，x+y=1+2

2

和x+y=1-2

2

；
（2）∵|PM|=|PO|，即

x02+y02+2x0-4y0+1

=

x02+y02

，
∴2x₀-4y₀+1=0，
对于|PM|=

x02+y02+2x0-4y0+1

=

5y02-2y0+ 1 4

，
∵P在⊙C外，
∴（x₀ +1）²+（y₀-2）²＞4，
将x₀=2y₀-

1

2

代入得5y₀²-2y₀+

1

4

＞0，
∴当y₀=

1

5

时，5y₀²-2y₀+

1

4

最小，此时|PM|最小，x₀=2y₀-

1

2

=-

1

10

，
∴|PM|min=

1

20

，此时P（-

1

10

，

1

5

）．

点评：此题考查了圆的切线方程，圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．