题目内容
20.已知关于x的方程x-3=a(x+2)(x-1)至少有一个比3大的根.求a的取值范围.分析 令f(x)=ax2+(a-1)x-2a+3,则它至少有一个比3大的根,根据a的符号,利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围.
解答 解:关于x的方程x-3=a(x+2)(x-1),即 ax2+(a-1)x-2a+3=0,根据它至少有一个比3大的根,
令f(x)=ax2+(a-1)x-2a+3,
当a>0时,有f(3)=10a<0 ①,或$\left\{\begin{array}{l}{△{=(a-1)}^{2}-4a(-2a+3)≥0}\\{\frac{1-a}{2a}>3}\\{f(3)>0}\end{array}\right.$ ②,
解①求得 a∈∅,解②求得0<a<$\frac{1}{7}$.
当a<0时,有f(3)=10a>0③,或$\left\{\begin{array}{l}{△{=(a-1)}^{2}-4a(-2a+3)≥0}\\{\frac{1-a}{2a}>3}\\{f(3)=10a<0}\end{array}\right.$ ④.
解③求得a∈∅,解④求得 a<0.
综上可得,0<a<$\frac{1}{7}$ 或a<0.
点评 本题主要考查二次函数的性质,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.
练习册系列答案
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