题目内容

当0＜x＜
π
2
时，函数f(x)=
1+cos2x+8sin2x
sin2x
的最小值为（　　）
A、2
B、2
3
C、4
D、4
3
分析：利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．
解答：解：f(x)=
2cos2x+8sin2x
2sinxcosx
=
4sin2x+cos2x
sinxcosx
=
4tan2x+1
tanx
=4tanx+
1
tanx
．
∵0＜x＜
π
2
，
∴tanx＞0．
∴4tanx+
1
tanx
≥2
4tanx•
1
tanx
=4．
当tanx=
1
2
时，f（x）min=4．
故选C．
点评：本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值．考查了学生知识的迁移能力，综合运用基础知识的能力．
练习册系列答案
相关题目
在R+上的递减函数f（x）同时满足：（1）当且仅当x∈M?R+时，函数值f（x）的集合为[0，2]；（2）f（
1
2
）=1；（3）对M中的任意x1、x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；（4）y=f（x）在M上的反函数为y=f-1（x）．
（1）求证：
1
4
∈M，但
1
8
∉M；
（2）求证：f-1（x1）•f-1（x2）=f-1（x1+x2）；
（3）解不等式：f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤
1
2
．
已知函f（x）=ln x，g（x）=
12
ax2+bx（a≠0）．
（1）若a=-2时，函h（x）=f（x）-g（x），在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）当a=-2，b=4时，求证2x-f（x）≥g（x）-3．
已知函f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．
①讨论f（x）的单调性；
②设a＞0，证明：当0＜x＜
1
a
时，f(
1
a
+x)＞f(
1
a
-x)；
③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．
当1＜x＜2时，是否存在实数a使y=x2-3(a+1)x+2(3a+1)的函数值小于0恒成立，若存在，则a的范围是____________.

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如下图所示，下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函y=f（x）-a数有4个零点；
其中真命题的个数是

[     ]

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

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