Question

在R⁺上的递减函数f（x）同时满足：（1）当且仅当x∈M?R⁺时，函数值f（x）的集合为[0，2]；（2）f（

1

2

）=1；（3）对M中的任意x₁、x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；（4）y=f（x）在M上的反函数为y=f^-1（x）．
（1）求证：

1

4

∈M，但

1

8

∉M；
（2）求证：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）解不等式：f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据当且仅当x∈M?R⁺时，函数值f（x）的集合为[0，2]，且f（

1

2

）=1，对M中的任意x₁、x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），即可证得结论；
（2）根据y=f（x）在M上递减，可得y=f（x）在M有反函数y=f^-1（x），x∈[0，2]，任取x₁、x₂∈[0，2]，设y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂），所以x₁=f（y₁），x₂=f（y₂）（y₁、y₂∈M），代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）即可证得结论；（3）f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

等价于：f^-1（x²-x+x-1）≤f^-1（1），利用函数的单调性，即可把原不等式转化为

0≤x2-x≤ 2 0≤x-1≤2 x2-1≥1

，解此不等式组即可求得结果．

解答：解：（1）证明：因为

1

2

∈M，又

1

4

=

1

2

×

1

2

，f（

1

2

）=1，
所以f（

1

4

）=f（

1

2

×

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=2∈[0，2]，所以

1

4

∈M，
又因为f（

1

8

）=f（

1

4

×

1

2

）=f（

1

4

）+f（

1

2

）=3∉[0，2]，所以

1

8

∉M；
（2）因为y=f（x）在M上递减，所以y=f（x）在M有反函数y=f^-1（x），x∈[0，2]
任取x₁、x₂∈[0，2]，设y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂），
所以x₁=f（y₁），x₂=f（y₂）（y₁、y₂∈M）
因为x₁+x₂=f（y₁）+f（y₂）=f（y₁y₂），
所以y₁y₂=f^-1（x₁+x₂），又y₁y₂=f^-1（x₁）f^-1（x₂），
所以：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）因为y=f（x）在M上递减，所以f^-1（x）在[0，2]上也递减，
f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

等价于：f^-1（x²-x+x-1）≤f^-1（1）

0≤x2-x≤ 2 0≤x-1≤2 x2-1≥1

即：

-1≤x≤0或1≤x≤2 1≤x≤3 x≤ - 2 或x≥ 2

所以

2

≤x≤2．

点评：此题考查抽象函数及其应用，反函数以及利用函数的单调性解不等式等问题，特别是问题（3），利用函数的单调性把不等式f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

转化为

0≤x2-x≤ 2 0≤x-1≤2 x2-1≥1

，是解题的关键，体现了转化的思想，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．