Question

13．如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=-x²+2（$0≤x≤\sqrt{2}$）的图象．若点 M到y轴距离记为t．
（1）当$t=\frac{2}{3}$时，求直路l所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？

Answer 1

分析 （1）求当$t=\frac{2}{3}$ 时，代入函数y=-x²+2，得M（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{9}$），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；
（Ⅱ）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．

解答 解：（1）把$t=\frac{2}{3}$代入函数y=-x²+2，得M（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{9}$），
∵y'=-2x，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线方程为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{22}{9}$；
（2）由（1）知，直线的方程为y=-2tx+t²+2，
令y=0，x=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），令x=0，y=t²+2，
∴$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$）≤2，t²+2≤3，
∴2-$\sqrt{2}$≤t≤1，
∴s_△OND=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$）（t²+2）=$\frac{1}{4}$（t³+4t+$\frac{4}{t}$），
令g（t）=$\frac{1}{4}$（t³+4t+$\frac{4}{t}$），
∴g'（t）=$\frac{（{t}^{2}+2）（3{t}^{2}-2）}{4{t}^{2}}$，
当t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，g'（t）=0，
当t∈（2-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）时，g'（t）＜0，
当t∈（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）时，g'（t）＞0，
g（t）≥g（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{8}{9}\sqrt{6}$，
所以所求面积的最大值为6-$\frac{8}{9}\sqrt{6}$．

点评 利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用．